OpenCASCADE Linear Extrusion Surface
Abstract. OpenCASCADE linear extrusion surface is a generalized cylinder. Such a surface is obtained by sweeping a curve (called the “extruded curve” or “basis”) in a given direction (referred to as the direction of extrusion and defined by a unit vector). The u parameter is along the extruded curve. The v parameter is along the direction of extrusion. The form of a surface of linear extrusion is generally a ruled surface. It can be a cylindrical surface, or a planar surface.
Key Words. OpenCASCADE, Extrusion Surface, Sweeping
1. Introduction
一般柱面（The General Cylinder）可以由一段或整個圓弧沿一個方向偏移一定的距離得到。如下圖所示：
Figure 1.1 Extrusion Shapes
當將頂點拉伸時，會生成一條邊；當將邊拉伸時，會生成面；當將Wire拉伸時，會生成Shell，當將面拉伸時，會生成體。當將曲線沿一個方向拉伸時，會形成一個曲面，如果此方向為直線，則會生成一般柱面。如果此方向是曲線時，會生成如下圖所示曲面：
Figure 1.2 Swept surface/ loft surface
本文主要介紹將曲線沿直線方向拉伸的算法，即一般柱面生成算法。并將生成的曲面在OpenSceneGraph中進行顯示。
2. Cylinder Surface Definition
設 W是一個單位向量，C(u)是定義在節點矢量U上，權值為wi的p次NURBS曲線。我們要得到一般柱面S(u,v)的表達式，S(u,v)是通過將 C(u)沿方向W平行掃描（sweep）距離d得到的。記掃描方向的參數為v, 0<v<1，顯然，S(u,v)必須滿足以下兩個條件：
v 對于固定的u0, S(u0, v)為由C(u0)到C(u0)+dW的直線段；
v 對于固定的v0：
所要求的柱面的表達式為：
S(u,v)定義在節點矢量U和V上，這里V＝{0，0，1，1}，U為C(u)的節點矢量。控制頂點由Pi,0=Pi和Pi,1=Pi+dW給出，權值wi,0=wi,1=wi。如下圖所示為一般柱面：
Figure 2.1 A general cylinder obtained by translating C(u) a distance d along W.
其中OpenCASCADE中一般柱面的表達式如下所示：
其取值范圍的代碼如下所示：
//
=======================================================================
//
function : Bounds
//
purpose :
//
=======================================================================
void
Geom_SurfaceOfLinearExtrusion::Bounds ( Standard_Real&
U1,
Standard_Real
&
U2,
Standard_Real
&
V1,
Standard_Real
& V2 )
const
{
V1
= -Precision::Infinite(); V2 =
Precision::Infinite();
U1
= basisCurve->FirstParameter(); U2 = basisCurve->
LastParameter();
}
由上代碼可知，參數在v方向上是趨于無窮的；在u方向上參數的范圍為曲線的范圍。計算柱面上點的方法代碼如下所示：
//
=======================================================================
//
function : D0
//
purpose :
//
=======================================================================
void
Geom_SurfaceOfLinearExtrusion::D0 (
const
Standard_Real U,
const
Standard_Real V,
Pnt
& P)
const
{
XYZ Pxyz
=
direction.XYZ();
Pxyz.Multiply (V);
Pxyz.Add (basisCurve
->
Value (U).XYZ());
P.SetXYZ(Pxyz);
}
即將柱面上點先按V方向來計算，再按U方向來計算，最后將兩個方向的值相加即得到柱面上的點。
由上述代碼可知，OpenCASCADE中一般柱面沒有使用NURBS曲面來表示。根據這個方法，可以將任意曲線沿給定的方向來得到一個柱面，這個曲線可以是直線、圓弧、圓、橢圓等。關于柱面上更多算法，如求微分等，可以參考源程序。
3. Display the Surface
還是在OpenSceneGraph中來對一般柱面進行可視化，來驗證結果。因為OpenSceneGraph的簡單易用，顯示曲面的程序代碼如下所示：
/*
* Copyright (c) 2013 to current year. All Rights Reserved.
*
* File : Main.cpp
* Author : eryar@163.com
* Date : 2014-11-23 10:18
* Version : OpenCASCADE6.8.0
*
* Description : Test the Linear Extrusion Surface of OpenCASCADE.
*
* Key Words : OpenCascade, Linear Extrusion Surface, General Cylinder
*
*/
//
OpenCASCADE.
#define
WNT
#include
<Precision.hxx>
#include
<gp_Circ.hxx>
#include
<Geom_SurfaceOfLinearExtrusion.hxx>
#include
<GC_MakeCircle.hxx>
#include
<GC_MakeSegment.hxx>
#include
<GC_MakeArcOfCircle.hxx>
#pragma
comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma
comment(lib, "TKMath.lib")
#pragma
comment(lib, "TKG3d.lib")
#pragma
comment(lib, "TKGeomBase.lib")
//
OpenSceneGraph.
#include <osgViewer/Viewer>
#include
<osgViewer/ViewerEventHandlers>
#include
<osgGA/StateSetManipulator>
#pragma
comment(lib, "osgd.lib")
#pragma
comment(lib, "osgGAd.lib")
#pragma
comment(lib, "osgViewerd.lib")
const
double
TOLERANCE_EDGE = 1e-
6
;
const
double
APPROXIMATION_DELTA =
0.05
;
/*
*
* @brief Render 3D geometry surface.
*/
osg::Node
* BuildSurface(
const
Handle_Geom_Surface&
theSurface)
{
osg::ref_ptr
<osg::Geode> aGeode =
new
osg::Geode();
Standard_Real aU1
=
0.0
;
Standard_Real aV1
=
0.0
;
Standard_Real aU2
=
0.0
;
Standard_Real aV2
=
0.0
;
Standard_Real aDeltaU
=
0.0
;
Standard_Real aDeltaV
=
0.0
;
theSurface
->
Bounds(aU1, aU2, aV1, aV2);
//
trim the parametrical space to avoid infinite space.
Precision::IsNegativeInfinite(aU1) ? aU1 = -
1.0
: aU1;
Precision::IsInfinite(aU2)
? aU2 =
1.0
: aU2;
Precision::IsNegativeInfinite(aV1)
? aV1 = -
1.0
: aV1;
Precision::IsInfinite(aV2)
? aV2 =
1.0
: aV2;
//
Approximation in v direction.
aDeltaU = (aU2 - aU1) *
APPROXIMATION_DELTA;
aDeltaV
= (aV2 - aV1) *
APPROXIMATION_DELTA;
for
(Standard_Real u = aU1; (u - aU2) <= TOLERANCE_EDGE; u +=
aDeltaU)
{
osg::ref_ptr
<osg::Geometry> aLine =
new
osg::Geometry();
osg::ref_ptr
<osg::Vec3Array> aPoints =
new
osg::Vec3Array();
for
(Standard_Real v = aV1; (v - aV2) <= TOLERANCE_EDGE; v +=
aDeltaV)
{
gp_Pnt aPoint
= theSurface->
Value(u, v);
aPoints
->
push_back(osg::Vec3(aPoint.X(), aPoint.Y(), aPoint.Z()));
}
//
Set vertex array.
aLine->
setVertexArray(aPoints);
aLine
->addPrimitiveSet(
new
osg::DrawArrays(osg::PrimitiveSet::LINE_STRIP,
0
, aPoints->
size()));
aGeode
->addDrawable(aLine.
get
());
}
//
Approximation in u direction.
for
(Standard_Real v = aV1; (v - aV2) <= TOLERANCE_EDGE; v +=
aDeltaV)
{
osg::ref_ptr
<osg::Geometry> aLine =
new
osg::Geometry();
osg::ref_ptr
<osg::Vec3Array> aPoints =
new
osg::Vec3Array();
for
(Standard_Real u = aU1; (u - aU2) <= TOLERANCE_EDGE; u +=
aDeltaU)
{
gp_Pnt aPoint
= theSurface->
Value(u, v);
aPoints
->
push_back(osg::Vec3(aPoint.X(), aPoint.Y(), aPoint.Z()));
}
//
Set vertex array.
aLine->
setVertexArray(aPoints);
aLine
->addPrimitiveSet(
new
osg::DrawArrays(osg::PrimitiveSet::LINE_STRIP,
0
, aPoints->
size()));
aGeode
->addDrawable(aLine.
get
());
}
return
aGeode.release();
}
/*
*
* @brief Build the test scene.
*/
osg::Node
* BuildScene(
void
)
{
osg::ref_ptr
<osg::Group> aRoot =
new
osg::Group();
//
test the linear extrusion surface.
//
test linear extrusion surface of a line.
Handle_Geom_Curve aSegment = GC_MakeSegment(gp_Pnt(
3.0
,
0.0
,
0.0
), gp_Pnt(
6.0
,
0.0
,
0.0
));
Handle_Geom_Surface aPlane
=
new
Geom_SurfaceOfLinearExtrusion(aSegment, gp::DZ());
aRoot
->
addChild(BuildSurface(aPlane));
//
test linear extrusion surface of a arc.
Handle_Geom_Curve aArc = GC_MakeArcOfCircle(gp_Circ(gp::ZOX(),
2.0
),
0.0
, M_PI,
true
);
Handle_Geom_Surface aSurface
=
new
Geom_SurfaceOfLinearExtrusion(aArc, gp::DY());
aRoot
->
addChild(BuildSurface(aSurface));
//
test linear extrusion surface of a circle.
Handle_Geom_Curve aCircle = GC_MakeCircle(gp::XOY(),
1.0
);
Handle_Geom_Surface aCylinder
=
new
Geom_SurfaceOfLinearExtrusion(aCircle, gp::DZ());
aRoot
->
addChild(BuildSurface(aCylinder));
return
aRoot.release();
}
int
main(
int
argc,
char
*
argv[])
{
osgViewer::Viewer aViewer;
aViewer.setSceneData(BuildScene());
aViewer.addEventHandler(
new
osgGA::StateSetManipulator(
aViewer.getCamera()
->
getOrCreateStateSet()));
aViewer.addEventHandler(
new
osgViewer::StatsHandler);
aViewer.addEventHandler(
new
osgViewer::WindowSizeHandler);
return
aViewer.run();
return
0
;
}
上述顯示方法只是顯示線框的最簡單的算法，只為驗證一般柱面結果，不是高效算法。顯示結果如下圖所示：
Figure 3.1 General Cylinder for: Circle, Arc, Line
如上圖所示分別為對圓、圓弧和直線進行拉伸得到的一般柱面。根據這個原理可以將任意曲線沿給定方向進行拉伸得到一個柱面。
4. Conclusion
通 過對OpenCASCADE中一般柱面的類中代碼進行分析可知，OpenCASCADE的這個線性拉伸柱面 Geom_SurfaceOfLinearExtrusion是根據一般柱面的定義實現的，并不是使用NURBS曲面來表示的。當需要用NURBS曲面來 表示一般柱面時，需要注意控制頂點及權值的計算取值。
5. References
1. 趙罡，穆國旺，王拉柱譯. 非均勻有理B樣條. 清華大學出版社. 2010
2. Les Piegl, Wayne Tiller. The NURBS Book. Springer-Verlag. 1997
3. OpenCASCADE Team, OpenCASCADE BRep Format. 2014
4. Donald Hearn, M. Pauline Baker. Computer Graphics with OpenGL. Prentice Hall. 2009
5. 莫蓉，常智勇. 計算機輔助幾何造型技術. 科學出版社. 2009
PDF Version and Source Code: OpenCASCADE Linear Extrusion Surface
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