PCurve - Curve on Surface

eryar@163.com

Abstract. 本文通過給出曲面上曲線PCurve的定義來對OpenCascade中的Curve On Surface進(jìn)行理解，并介紹了OpenCascade對應(yīng)的類BRep_CurveOnSurface實現(xiàn)。通過Tcl腳本輸出的球的拓樸信息，分析PCurve的實際應(yīng)用。?

Key words. OpenCascade, ACIS, PCurve, Curve on Surface, Parametric Surface?

1. Introduction

不管是ACIS還是OpenCascade中都有PCurve這個概念，字面上來理解就是參數(shù)曲線（Parametric Curve）。在《基于ACIS的幾何造型技術(shù)與系統(tǒng)開發(fā)》中也看到這個概念，如下圖所示：?

Figure 1.1 PCurve Entity of ACIS?

“參數(shù)空間曲線是在參數(shù)曲面的雙參數(shù)空間中的二維樣條曲線。類pcurve是附加在參數(shù)曲面之間公共邊上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。”看完之后，對pcurve的概念還是不太清楚。本文給出PCurve的定義，并介紹PCurve在OpenCascade中的實現(xiàn)。根據(jù)定義可以對PCurve有個基本認(rèn)識。?

2. Definition of PCurve

PCurve為曲面上的曲線（Curve on Surface），其定義為：設(shè)曲面方程為?

令參數(shù)u,v又是另一參數(shù)t的函數(shù)，即?

將其代入曲面方程，得到：?

當(dāng)t變化時，就得到曲面上的一條單參數(shù)曲線，稱為曲面上的曲線或簡稱曲面上曲線（Curve on Surface）。若以s表示曲面上曲線的弧長，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可得弧長微分公式：?

令：?

則有：?

在古典微分幾何中，上式稱為曲面的第一基本公式，E，F(xiàn)，G稱為第一基本量。在曲面上，每一點的第一基本量與參數(shù)化無關(guān)，在整張曲面上，第一基本量是參數(shù)u和v的連續(xù)函數(shù)。讀者注意，弧元ds是曲線的幾何不變量，與曲面的參數(shù)化無關(guān)。關(guān)于曲線曲面更多的信息，請參考《微分幾何》、《計算幾何》之類的書籍。本文主要為了理解曲面上曲線PCurve的概念及其在OpenCascade中的實現(xiàn)。?

目前對PCurve的應(yīng)用還不太清楚，但是微分幾何中引入這個概念肯定是有他的意義，就像在程序設(shè)計中引入Pimpl（pointer to implementation）這個idiom。盡管引入Pimpl idiom會增加內(nèi)存的額外開銷，甚至因為增加了間接層使程序代碼變得不易讀和不好調(diào)試，但是人們?nèi)匀粯酚谑褂谩Ｕ驹贏PI設(shè)計者的角度，它能隱藏信息、降低耦合、減少文件間的依賴，加快編譯速度、且可使生成的庫的兼容性更好等等，很多優(yōu)點。所以在《Effective C++》和《API Design for C++》中，作者反復(fù)提到并使用Pimpl idiom。類比微分幾何引入的PCurve，先在此做上標(biāo)記，如果有了新的理解再做分析。?

3. PCurve in OpenCascade

在OpenCascade中對應(yīng)于曲面上曲線PCurve的類是BRep_CurveOnSurface，其文檔中的說明為：Representation of a curve by a curve in the parametric space of a surface.?

結(jié)合定義上面這句話就好理解了。現(xiàn)摘抄部分代碼來分析PCurve的定義和使用：

      
        //
      
      
        =======================================================================


      
      
        //
      
      
        function : BRep_CurveOnSurface


      
      
        //
      
      
        =======================================================================
      
      

BRep_CurveOnSurface::BRep_CurveOnSurface(
      
        const
      
       Handle(Geom2d_Curve)&
      
         PC, 

                     
      
      
        const
      
       Handle(Geom_Surface)&
      
         S, 

                     
      
      
        const
      
       TopLoc_Location&
      
         L) :

       BRep_GCurve(L,PC
      
      ->FirstParameter(),PC->
      
        LastParameter()),

       myPCurve(PC),

       mySurface(S)

{

}




      
      
        //
      
      
        =======================================================================


      
      
        //
      
      
        function : D0


      
      
        //
      
      
        =======================================================================
      
      
        void
      
       BRep_CurveOnSurface::D0(
      
        const
      
       Standard_Real U, gp_Pnt& P) 
      
        const
      
      
        

{

  
      
      
        //
      
      
         shoud be D0 NYI
      
      

  gp_Pnt2d P2d = myPCurve->
      
        Value(U);

  P 
      
      = mySurface->
      
        Value(P2d.X(),P2d.Y());

  P.Transform(myLocation.Transformation());

}
      
    

從其構(gòu)造函數(shù)來看，要生成一個PCurve必須有曲線PC和曲面S及位置L。?

從求PCurve的零次微分的函數(shù)D0可以看出，只需要一個參數(shù)U就可以計算出曲面上的點P。結(jié)合前面介紹的PCurve的定義，不難理解這段代碼的意義。下面通過分析球面的拓樸結(jié)構(gòu)，看看PCurve的應(yīng)用。?

Figure 3.1 Sphere in Draw Test Harness?

4. Code Demo

下面的程序生成一個球，再把其拓樸結(jié)構(gòu)顯示出來，可以看到其中就有PCurve的信息。使用Tcl腳本程序示例如下：

      
        pload ALL

psphere s 
      
      
        1.0
      
      
        

dump s
      
    

以上Tcl腳本在OpenCascade的Draw Test Harness中運行結(jié)果如下所示：?

Figure 4.1 PCurve in Sphere?

由上圖可知，球的Edge5由一個PCurve來表示。曲面上曲線PCurve在拓樸結(jié)構(gòu)輸出的信息位于Curve2ds中，曲面的幾何數(shù)據(jù)位于surfaces中，分別如下圖所示：?

Figure 4.2 PCurves of Sphere?

PCurve編號為4的是條直線，起點（0，-1.570796），方向為（1，0）即X方向。?

Figure 4.3 Surfaces of Sphere?

曲面編號為1的是一個球面，圓心（0，0，0），半徑為1，坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系相同。?

結(jié)合PCurve 4和曲面1及PCurve的參數(shù)范圍，可以計算出曲面上的一條曲線上的坐標(biāo)值。不過上面球面的例子中的Edge是degenerated邊，退化成一個點了。?

由上面球的拓樸信息可知，在理解了參數(shù)曲線曲面（有向性）、奇點（Singular Point），參數(shù)曲面的奇異性（Singularity）、曲面上曲線（PCurve）等概念后，OpenCascade的拓樸結(jié)構(gòu)就可以基本理解了。?

5. Conclusions

本文通過給出曲面上曲線PCurve的定義來對OpenCascade中的Curve On Surface進(jìn)行理解，并介紹了OpenCascade對應(yīng)的類BRep_CurveOnSurface實現(xiàn)。?

通過Tcl腳本輸出的球的拓樸信息，看看PCurve的實際應(yīng)用，從中可以看出使用Tcl的簡單與便捷。?

6. References

1. 朱心雄，自由曲線曲面造型技術(shù)，科學(xué)出版社，2000?

2. 王仁宏 李崇君 朱春鋼，計算幾何教程，科學(xué)出版社，2008?

3. 陳維桓，微分幾何，北京大學(xué)出版社，2006?

4. 詹海生 李廣鑫 馬志欣，基于ACIS的幾何造型技術(shù)與系統(tǒng)開發(fā)，清華大學(xué)出版社，2002

PCurve - Curve on Surface