1. 基本原理

通過一個變換，將輸入圖像的灰度級轉換為`均勻分布`，變換后的灰度級的概率密度函數為

$$P_s(s) = \frac{1}{L-1}$$

直方圖均衡的變換為

$$s = T(r) = (L-1)\int_0^r {P_r(c)} \,{\rm d}c $$

$s$為變換后的灰度級，$r$為變換前的灰度級$P_r(r)$為變換前的概率密度函數2. 測試結果

圖源自skimage

3.代碼

            
import numpy as np
def hist_equalization(input_image):
  '''
  直方圖均衡（適用于灰度圖）
  :param input_image: 原圖像
  :return: 均衡后的圖像
  '''
  output_imgae = np.copy(input_image) # 輸出圖像，初始化為輸入
  input_image_cp = np.copy(input_image) # 輸入圖像的副本
  m, n = input_image_cp.shape # 輸入圖像的尺寸（行、列）
  pixels_total_num = m * n # 輸入圖像的像素點總數
  input_image_grayscale_P = [] # 輸入圖像中各灰度級出現的概率，亦即輸入圖像直方圖
  # 求輸入圖像中各灰度級出現的概率，亦即輸入圖像直方圖
  for i in range(256):
    input_image_grayscale_P.append(np.sum(input_image_cp == i) / pixels_total_num)
  # 求解輸出圖像
  t = 0        # 輸入圖像的灰度級分布函數F
  for i in range(256):
    t = t + input_image_grayscale_P[i]
    output_imgae[np.where(input_image_cp == i)] = 255 * t
  return output_imgae
          

4. 數學證明目標變換

• $$S = T(r) = (L-1)\int_0^rp_r(w)dw$$
• $T(r)$為嚴格單調函數，可保證反映射時，消除二義性$p_r(w)$為源圖像歸一化后的直方圖

4.1 假定

• 圖像灰度級為：$[0, L-1]$
• 源圖像中，$k$灰度級的像素個數：$n_k$
• 源圖像像素總數：$n$原圖像直方
• 圖$h(r_k) = n$4.2 歸一化后的直方圖

$$p(r_k) = n_k / n$$


$p(r_k)$即為灰度級$r_k$在源圖像中出現的概率估計

4.3 證明

概率密度函數的積分為分布函數，即對分布函數的導數為概率密度函數。

因為$p_r(r)$與$T(r)$已知，則由

$$\frac{{\rm d}r}{{\rm d}S} = \frac{p_s(s)}{p_r(r)}$$

又因為

$$S = T(r)$$


即

$$\frac{{\rm d}S}{{\rm d}r} = \frac{T(r)}{r}$$

聯立上三式及目標變換

$$S = T(r) = (L-1)\int_0^rp_r(w)dw$$

可得

$$p_s(s) = \frac{1}{L-1}$$

故，這意味著變換之后的圖像的灰度級為均勻分布，證畢。

總結

以上所述是小編給大家介紹的Python實現直方圖均衡基本原理解析,希望對大家有所幫助，如果大家有任何疑問請給我留言，小編會及時回復大家的。在此也非常感謝大家對腳本之家網站的支持！
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