? 在時間序列中，我們需要基于該時間序列當前已有的數據來預測其在之后的走勢，三次指數平滑(Triple/Three Order Exponential Smoothing,Holt-Winters)算法可以很好的進行時間序列的預測。

? 時間序列數據一般有以下幾種特點：1.趨勢(Trend) ?2. 季節性(Seasonality)。

? 趨勢描述的是時間序列的整體走勢，比如總體上升或者總體下降。下圖所示的時間序列是總體上升的：

? 季節性描述的是數據的周期性波動，比如以年或者周為周期，如下圖：

? 三次指數平滑算法可以對同時含有趨勢和季節性的時間序列進行預測，該算法是基于一次指數平滑和二次指數平滑算法的。

? 一次指數平滑算法 基于以下的遞推關系：

? si=αx _i +(1-α)s _i-1?

? 其中α是 平滑參數 ，s _i 是之前i個數據的平滑值，取值為[0,1]，α越接近1，平滑后的值越接近當前時間的數據值，數據越不平滑，α越接近0，平滑后的值越接近前i個數據的平滑值，數據越平滑，α的值通常可以多嘗試幾次以達到最佳效果。

? 一次指數平滑算法進行預測的公式為：x _i+h =s _i ，其中i為當前最后的一個數據記錄的坐標，亦即預測的時間序列為一條直線，不能反映時間序列的趨勢和季節性。

? 二次指數平滑 保留了趨勢的信息，使得預測的時間序列可以包含之前數據的趨勢。二次指數平滑通過添加一個新的變量t來表示平滑后的趨勢：

? s _i =αx _i +(1-α)(s _i-1 +t _i-1 )

? t _i =?(s _i -s _i-1 )+(1-?)t _i-1

? 二次指數平滑的預測公式為 ?x _i+h =s _i +ht _{i ?} 二次指數平滑的預測結果是一條斜的直線。

? 三次指數平滑在二次指數平滑的基礎上保留了季節性的信息，使得其可以預測帶有季節性的時間序列。三次指數平滑添加了一個新的參數p來表示平滑后的趨勢。

? 三次指數平滑有累加和累乘兩種方法，下面是累加的三次指數平滑

??s _i =α(x _i- p _i-k )+(1-α)(s _i-1 +t _i-1 )

? t _i =?(s _i -s _i-1 )+(1-?)t _i-1

? p _i =γ(x _i -s _i )+(1-γ)p _i-k ?其中k為周期

? 累加三次指數平滑的預測公式為： x _i+h =s _i +ht _i +p _{i-k+(h mod k)} ? 注意：數據之魅P88此處有錯誤，根據Wikipedia修正。

? 下式為累乘的三次指數平滑：

?s _i =αx _i /p _i-k +(1-α)(s _i-1 +t _i-1 )

? t _i =?(s _i -s _i-1 )+(1-?)t _i-1

? p _i =γx _i /s _i +(1-γ)p _i-k ??其中k為周期

? 累乘三次指數平滑的預測公式為： x _i+h =(s _i +ht _i )p _{i-k+(h mod k)} ? ?注意：數據之魅P88此處有錯誤，根據Wikipedia修正。

? α，?，γ的值都位于[0,1]之間，可以多試驗幾次以達到最佳效果。

? s,t,p初始值的選取對于算法整體的影響不是特別大，通常的取值為s ₀ =x ₀ ,t ₀ =x ₁ -x ₀ ,累加時p=0,累乘時p=1.

_? ?我們使用DataMarket的International Airline Passengers數據來測試累加和累乘三次指數平滑算法的性能，該數據記錄的是每月的國際航線乘客數：

_? ?下圖為使用累加三次指數平滑進行預測的效果：其中紅色為源時間序列，藍色為預測的時間序列，α，?，γ的取值為0.45，0.2，0.95：

? 下圖為累乘三次指數平滑進行預測的效果，α，?，γ的取值為0.4，0.05，0.9：

? 可以看到三次指數平滑算法可以很好的保存時間序列數據的趨勢和季節性信息，在International Airline Passengers數據集上累乘平滑指數算法的效果更好。

參考文獻：

? [1]. 數據之魅：基于開源工具的數據分析

? [2]. DataMarket: International Airline Passengers

? [3]. Wikipedia: Exponential Smoothing?

時間序列挖掘-預測算法-三次指數平滑法(Holt-Winters)