四川省成都市新都一中　杜修奎

【 摘要 】 本文主要闡述了本人對(duì)數(shù)學(xué)直覺思維的認(rèn)識(shí)，以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維的重要性和必要性，進(jìn)一步闡述了如何培養(yǎng)的問(wèn)題。

【 關(guān)鍵詞 】 直覺思維 邏輯思維 創(chuàng)新 猜想 數(shù)型結(jié)合

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試驗(yàn)修訂本)將培養(yǎng)學(xué)生的三大能力之一“邏輯思維能力”改為“思維能力”，雖然只是去掉兩個(gè)字，概念的內(nèi)涵卻更加豐富，反映了人們?cè)诮逃膶?shí)踐中實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)變。我們?cè)谧⒅剡壿嬎季S能力培養(yǎng)的同時(shí)，還應(yīng)該注重觀察力、直覺力、想象力的培養(yǎng)。特別是直覺思維能力的培養(yǎng)，由于長(zhǎng)期直覺思維得不到重視，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。過(guò)多地注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展。培養(yǎng)直覺思維能力是社會(huì)發(fā)展的需要，是適應(yīng)新時(shí)期社會(huì)對(duì)人才的需求。

一、對(duì)數(shù)學(xué)直覺思維的認(rèn)識(shí)

1．直覺是發(fā)明的源泉。偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家彭加勒說(shuō)：“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)明。”前蘇聯(lián)科學(xué)家凱德洛夫更明確地說(shuō)：“沒有任何一個(gè)創(chuàng)造性行為能離開直覺活動(dòng)?！敝庇X思維就是指人們不受邏輯規(guī)則約束直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方式。數(shù)學(xué)直覺思維是直接反映數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的思維活動(dòng)。思維者不是按部就班地推理，而是對(duì)思維對(duì)象從整體上進(jìn)行考察，調(diào)動(dòng)自身的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，跳過(guò)若干中間步驟或放過(guò)個(gè)別細(xì)節(jié)而直接把握研究對(duì)象的本質(zhì)和聯(lián)系。

2．?dāng)?shù)學(xué)直覺思維的表現(xiàn)形式是以人們已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和技能為基礎(chǔ)，通過(guò)觀察、聯(lián)想、類比、歸納、猜測(cè)之后對(duì)所研究的事物作出一種比較迅速的直接的綜合判斷，它不受固定的邏輯約束，以潛邏輯的形式進(jìn)行。關(guān)于數(shù)學(xué)直覺思維的研究，目前比較統(tǒng)一的看法是認(rèn)為存在著兩種不同的表現(xiàn)形式，即數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)靈感。這兩者的共同點(diǎn)是它們都能以高度省略、簡(jiǎn)化和濃縮的方式洞察數(shù)學(xué)關(guān)系，能在一瞬間迅速解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

3．?dāng)?shù)學(xué)直覺思維具有個(gè)體經(jīng)驗(yàn)性、突發(fā)性、偶然性、果斷性、創(chuàng)造性、迅速性、自由性、直觀性、自發(fā)性、不可靠性等特點(diǎn)。迪瓦多內(nèi)說(shuō)：“任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無(wú)疑是使學(xué)生對(duì)他要處理的數(shù)學(xué)對(duì)象有一個(gè)可靠‘直覺’。”在教育過(guò)程中，教師如果把證明過(guò)程過(guò)分的嚴(yán)格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環(huán)，學(xué)生們只能把成功歸功于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗?！吨袊?guó)青年報(bào)》曾報(bào)道，“約30％的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后，喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣”，這種現(xiàn)象應(yīng)該引起數(shù)學(xué)教育者的重視與反思。

直觀性：數(shù)學(xué)直覺思維活動(dòng)在時(shí)間上表現(xiàn)為快速性，即它有時(shí)是在一剎那間完成的；在過(guò)程上表現(xiàn)為跳躍性；在形式上表現(xiàn)為簡(jiǎn)約性，簡(jiǎn)約美體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。直覺思維是一瞬間的思維火花，是長(zhǎng)期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過(guò)程的高度簡(jiǎn)化。　　

創(chuàng)造性：直覺思維是基于研究對(duì)象整體上的把握，不專意于細(xì)節(jié)的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無(wú)意識(shí)性，它的想象才是豐富的，發(fā)散的，使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外擴(kuò)展，因而具有反常規(guī)律的獨(dú)創(chuàng)性。許多重大的發(fā)現(xiàn)都基于數(shù)學(xué)直覺?；谥庇X，歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)夢(mèng)幻般建立起了歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上迸發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法?，F(xiàn)代社會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)造性的人才，我國(guó)的教材由于長(zhǎng)期以來(lái)借鑒國(guó)外的經(jīng)驗(yàn)，過(guò)多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習(xí)慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開拓精神。因此培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維是必要的。

4．?dāng)?shù)學(xué)直覺思維能力的提高有利于增強(qiáng)學(xué)生的自信力。成功可以培養(yǎng)一個(gè)人的自信，直覺發(fā)現(xiàn)伴隨著很強(qiáng)的“自信心”。從馬斯洛的需要層次來(lái)看，它使學(xué)生的自我價(jià)值得以充分實(shí)現(xiàn)，也就是最高層次的需要得以實(shí)現(xiàn)，比起其它的物資獎(jiǎng)勵(lì)和情感激勵(lì)，這種自信更穩(wěn)定、更持久。布魯納認(rèn)為學(xué)習(xí)的最好刺激是對(duì)教學(xué)材料的興趣。當(dāng)一個(gè)問(wèn)題不用通過(guò)邏輯證明的形式而是通過(guò)自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會(huì)產(chǎn)生一種強(qiáng)大的學(xué)習(xí)鉆研動(dòng)力。高斯在小學(xué)時(shí)就能解決問(wèn)題“1＋2＋…… ＋99＋100＝?”，這是基于他對(duì)數(shù)的敏感性的超常把握，這對(duì)他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。

數(shù)學(xué)直覺思維還有利于提高學(xué)生的思維品質(zhì)。直覺思維具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或結(jié)論，給人以“發(fā)散”、“放射”的感覺，一計(jì)不成又生一計(jì)。因此，加強(qiáng)直覺思維能力的訓(xùn)練，對(duì)克服思維的單向性，提高思維品質(zhì)是有利的。

二、數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)

一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺也是不斷提高的。”對(duì)于一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，他所具有的數(shù)學(xué)直覺顯然已不再是一種樸素意義上的原始直覺，而是一種精致化了的直覺，也即是通過(guò)多年的學(xué)習(xí)和研究才逐漸養(yǎng)成的。

扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉。迪瓦多內(nèi)一語(yǔ)道破了直覺的產(chǎn)生過(guò)程：“我以為獲得‘直覺’的過(guò)程，必須經(jīng)歷一個(gè)純形式表面理解的時(shí)期，然后逐步將理解提高、深化”。“直覺”不是靠“機(jī)遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無(wú)緣無(wú)故地憑空臆想，成功孕育于1%的靈感和99%的血汗中。阿提雅說(shuō)：“一旦你真正感到弄懂了一樣?xùn)|西，而且你通過(guò)大量例子以及通過(guò)與其它東西的聯(lián)系取得了處理那個(gè)問(wèn)題的足夠多的經(jīng)驗(yàn)．對(duì)此你就會(huì)產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過(guò)程是怎么回事以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺。”

在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)和發(fā)展是情感教育下的產(chǎn)物之一，把知情融為一體，使認(rèn)知和情感彼此促進(jìn)，和諧發(fā)展，互相促進(jìn)。敏銳的觀察力是直覺思維的起步器；‘一葉落而知天下秋’的聯(lián)想習(xí)慣、科學(xué)美的鑒賞力是直覺思維的助跑器；強(qiáng)有利的語(yǔ)言表達(dá)能力是直覺思維的載體。美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，應(yīng)該做更多的工作去發(fā)展學(xué)生的直覺思維。直覺思維能力可以通過(guò)多方聯(lián)想，學(xué)會(huì)從整體考察問(wèn)題，注意挖掘問(wèn)題內(nèi)部的本質(zhì)聯(lián)系，借助對(duì)稱、和諧等數(shù)學(xué)美感，養(yǎng)成解題后進(jìn)行反思的習(xí)慣等途徑加以培養(yǎng)。

1．注重整體洞察，培養(yǎng)學(xué)生的整體直覺思維和觀察能力。直覺思維不同于邏輯思維，直覺思維是綜合的而不是分析的，它依賴于對(duì)事物全面和本質(zhì)的理解，側(cè)重于整體上把握對(duì)象而不拘泥于細(xì)節(jié)的邏輯分析，它重視元素之間的聯(lián)系、系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)，從整體上把握研究的內(nèi)容和方向。觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門。沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn)，更不能有創(chuàng)造。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中圖形的識(shí)別，規(guī)律的發(fā)現(xiàn)以及理解能力、記憶能力、抽象能力、想象能力和運(yùn)算能力等都離不開觀察。在觀察之前，要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求。指導(dǎo)學(xué)生從整體上觀察研究對(duì)象的特征，比如對(duì)于三角問(wèn)題指導(dǎo)學(xué)生從角、函數(shù)名和形式進(jìn)行觀察，注意幫助學(xué)生養(yǎng)成自問(wèn)和反思的習(xí)慣，努力培養(yǎng)學(xué)生濃厚的觀察興趣。

2．重視解題教學(xué)，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維。華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微?！蓖ㄟ^(guò)深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺思維大有幫助。教師應(yīng)該把直覺思維在課堂教學(xué)中明確提出，制定相應(yīng)的活動(dòng)策略。重視數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)，諸如：換元、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等，通過(guò)方法論的分析使數(shù)學(xué)中的發(fā)明、創(chuàng)造活動(dòng)成為“可以理解的”、“可以學(xué)到手的”和“可以加以推廣應(yīng)用的”，以思想方法的分析去帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)．

教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)念}目類型，有利于考察和培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維。例如選擇題，由于只要求從四個(gè)選擇支中挑選出來(lái)，省略解題過(guò)程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發(fā)展。實(shí)施開放性問(wèn)題教學(xué)，也是培養(yǎng)直覺思維的有效方法。開放性問(wèn)題的條件或結(jié)論不夠明確，可以從多個(gè)角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。當(dāng)人們解一道數(shù)學(xué)題時(shí)，往往要對(duì)結(jié)果或解題途徑先作大致的估量或猜測(cè)，這就是一種數(shù)學(xué)直覺思維．在解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意利用直覺思維解題，能把抽象轉(zhuǎn)化為具體，本身也是一種直覺思維能力．例如 2000年高考第 11題：過(guò)拋物線（a>0）的焦點(diǎn)心F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別為p、q，則等于

(A)2a　　　(B) 　　　(C) 4a 　　　(D)

分析1： 首先拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，其次當(dāng)PQ為通徑時(shí)可求得，由此可知，本題答案為(C)。分析2：當(dāng)直線PQ的斜率趨向于時(shí)，其中一條（不妨設(shè)PF）的長(zhǎng)度趨向于，而另一條趨向于OF，從而可求得答案(C)通過(guò)分析直線PQ的斜率不斷增大的情形，有效地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性動(dòng)機(jī)，提高學(xué)生的思維能力。

3．注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想，培養(yǎng)歸納直覺思維。歸納直覺是一種非邏輯思維，它需要有“理智的勇氣”、“精明的誠(chéng)實(shí)”、“明智的克制”。在數(shù)學(xué)解題中，運(yùn)用歸納直覺，雖然是冒風(fēng)險(xiǎn)的，但仍然值得重視。猜想是由已知原理、事實(shí)，對(duì)未知現(xiàn)象及其規(guī)律所作出的一種假設(shè)性的命題。在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行猜想，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生直覺思維，掌握探求知識(shí)方法的必要手段。作為一個(gè)教師，我們不僅應(yīng)當(dāng)注意“保護(hù)”學(xué)生已有的猜想能力和直覺能力，而且應(yīng)更加注意幫助學(xué)生學(xué)會(huì)合理的猜想方法，并使他們的直覺思維不斷得到發(fā)展和趨向精致．“引”學(xué)生大膽設(shè)問(wèn)；“引”學(xué)生各抒己見；“引”學(xué)生充分活動(dòng)。讓學(xué)生猜想問(wèn)題的結(jié)論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系，讓學(xué)生把各種各樣的想法都講出來(lái)，讓學(xué)生真正“觸摸”到自己的研究對(duì)象，推動(dòng)其思維的主動(dòng)性。為了啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜想，我們還可以創(chuàng)設(shè)使學(xué)生積極思維，引發(fā)猜想的意境，可以提出“怎么發(fā)現(xiàn)這一定理的？”“解這題的方法是如何想到的？”諸如此類的問(wèn)題，組織學(xué)生進(jìn)行猜想、探索，還可以編制一些變換結(jié)論，缺少條件的“藏頭露尾”的題目，引發(fā)學(xué)生猜想的愿望，猜想的積極性。對(duì)于學(xué)生的大膽設(shè)想應(yīng)給予充分肯定，對(duì)其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì)，愛護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺思維，以免挫傷學(xué)生直覺思維的積極性和學(xué)生直覺思維的悟性。教師應(yīng)及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對(duì)自己的直覺產(chǎn)生成功的喜悅感。

4．注重滲透數(shù)學(xué)審美觀念，培養(yǎng)審美直覺思維。美的意識(shí)能喚起和支配數(shù)學(xué)直覺?？v觀古今，數(shù)學(xué)上的許多發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)舉無(wú)論從宏觀還是微觀上看無(wú)不遵循美的創(chuàng)造規(guī)律。難怪?jǐn)?shù)學(xué)大師阿達(dá)瑪認(rèn)為，數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)是某種“美感”或“美的意識(shí)”。 美感和美的意識(shí)是數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)。龐加萊畢生追求“簡(jiǎn)單與宏遠(yuǎn)”，愛因斯坦看重宇宙的“統(tǒng)一與和諧”。美學(xué)是科學(xué)家譜寫科學(xué)理論“詩(shī)篇”的一條紅線。數(shù)學(xué)中主要包括簡(jiǎn)潔美、和諧美、對(duì)稱美、奇異美以及數(shù)學(xué)思想美、數(shù)學(xué)家的情感美，在美的享受中啟迪人們的心靈，引起精神的升華。法國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯從牛頓力學(xué)中“感受到數(shù)學(xué)的完美性”，英國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家羅素從歐幾里德《幾何原本》中“讀出音樂般的美妙”，英國(guó)物理學(xué)家狄拉克從“數(shù)學(xué)形式的美”中發(fā)現(xiàn)了“物理世界的真”。因此提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)事物間存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺意識(shí)。在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美是提高學(xué)生審美能力的有效途徑之一。同時(shí)巧妙的語(yǔ)言表達(dá)如一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋扔饕部墒箤W(xué)生廣開思路，回味無(wú)窮。例如為了講清函數(shù)s＝5t和y＝5x是同一個(gè)函數(shù)，你在采用“這兩個(gè)個(gè)映射都是把數(shù)集A中的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)到它本身的5倍”的語(yǔ)言講述后，不妨比喻為一個(gè)人穿兩件不同的衣服，賦予函數(shù)的符號(hào)好似人穿的衣服，它的實(shí)質(zhì)好比這個(gè)人本身，又如多對(duì)一的映射比喻為“萬(wàn)箭穿心”，如此生動(dòng)形象淺顯貼切的比喻使枯燥的說(shuō)教自慚形穢。

5．注重滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀點(diǎn)，加強(qiáng)在其它學(xué)科中應(yīng)用的意識(shí)，提高信息處理能力。直覺的產(chǎn)生是基于對(duì)研究對(duì)象整體的把握，而哲學(xué)觀點(diǎn)有利于高屋建瓴地把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)觀點(diǎn)包括數(shù)學(xué)中普遍存在的對(duì)立統(tǒng)一、運(yùn)動(dòng)變化、相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱性等特點(diǎn)。例如，即使沒有學(xué)過(guò)完全平方公式，也可以運(yùn)用對(duì)稱的觀點(diǎn)判斷結(jié)論的真?zhèn)?。而函?shù)的單調(diào)性充分體現(xiàn)了對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。

有意識(shí)地應(yīng)用于其它學(xué)科，尤其是應(yīng)用學(xué)科。例如，已知，，求的最小值．運(yùn)用物理學(xué)科的知識(shí)去解釋，即串聯(lián)電路的電阻值為1，將其改裝為并聯(lián)電路，使得并聯(lián)電路電阻值最大，由并聯(lián)電阻的阻值總比任一支路的電阻值小，從而使得基本不等式“深入人心”。又如對(duì)于　的化學(xué)知識(shí)的解釋（在原有溶液中加入溶質(zhì)，溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)會(huì)增大）使學(xué)生在豁然開朗中提高直覺思維能力。

在教學(xué)中，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理各種各樣的信息也是非常重要的。如2001年高考第12題：如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表承它們有網(wǎng)線相聯(lián)．連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞．則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為( 　　　)

(A)26　　 (B)24 　　(C)20 　　(D)19

首先引導(dǎo)學(xué)生直覺地意識(shí)到單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量應(yīng)為每條線路單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量之和，又每條線路中收到的信息量不超過(guò)每相鄰結(jié)點(diǎn)間可以通過(guò)信息量的最小值。因而最大信息量為3＋4＋6＋6＝19。

三、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)是一門滴水不漏的學(xué)科，許多直覺洞察的空隙必須要用邏輯推理來(lái)填補(bǔ)。 對(duì)于直覺與非形式的強(qiáng)調(diào)是無(wú)可非議的，但是我們并不能以此去取代數(shù)學(xué)證明，而只能作為后者的必要補(bǔ)充；而“如果在解決問(wèn)題的過(guò)程中總是滿足于不加證明的猜測(cè)，他們很快就會(huì)忘記在猜測(cè)與證明之間的區(qū)分”，而后者甚至可以說(shuō)比根本不知道如何去解決問(wèn)題更糟。直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會(huì)制約一個(gè)人思維能力的發(fā)展，伊思．斯圖爾特曾經(jīng)說(shuō)過(guò)這樣一句話，“數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺和嚴(yán)格性巧妙的結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數(shù)學(xué)的魅力所在，也是數(shù)學(xué)教育者努力的方向。

參考書目：

　［1］張奠宙主編《數(shù)學(xué)教育研究引導(dǎo)》江蘇教育出版社
?。?］郭思樂　喻緯著《數(shù)學(xué)思維教育論》　上海教育出版社
　［3］陳祥明 《論科學(xué)美及其美感》，安徽大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版）1998，4
　［4］唐紹友 《試論數(shù)學(xué)教學(xué)與情感教育》，《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2002，3
?。?］劉云章，王占芳著.數(shù)學(xué) ? 教學(xué) ? 哲學(xué) ? 斷想.內(nèi)蒙古文化出版社，2001,10.
?。?］史保懷 直覺思維在解題中的運(yùn)用.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2000,5.